Question

7．某处山坡上有一棵与水平面垂直的大树，狂风过后，大树被刮的倾斜后折断，倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）这棵大树折断前高约多少米？（结果精确到个位，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 （1）延长BA交EF于点G，在RT△AGE中，求得∠GAE=67°，然后根据∠CAE=180°-∠GAE-∠BAC即可求得；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，在△ADH中，根据余弦函数求得DH，进而根据正弦函数求得AH，在RT△ACH中，求得CH=AH=2$\sqrt{3}$，然后根据AB=AC+CD即可求得．

解答 解：（1）延长BA交EF于点G，
在RT△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°，
又∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=$\frac{DH}{AD}$，
∴DH=2，sin∠ADC=$\frac{AH}{AD}$，
∴AH=2$\sqrt{3}$．
在RT△ACH中，∠C=180°-75°-60°=45°，
∴AC=2$\sqrt{6}$，CH=AH=2$\sqrt{3}$．
∴AB=AC+CD=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．

点评 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．