Question

12．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：DE=BF．

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线的作法得出直线EF即可；
（2）利用全等三角形的判定方法SAS得出△DEO≌△BFO进而求出即可．

解答 （1）解：如图所示：EF即为所求；
；

（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC．
∴∠ADB=∠CBD．
∵EF垂直平分线段BD，∴BO=DO．
在△DEO和△BFO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CBD}\\{DO=BO}\\{∠DOE=∠BOF}\end{array}\right.$，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴DE=BF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的作法，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．