Question

18．如图，在△ABC中，∠A=50°，点M在AB上，过点M作MN∥BC，交AC于点N，D是N上一点，连接DM并延长，交CB的延长线于点E．
（1）若∠ABE=110°，∠MDN=70°，求∠GEF的度数；
（2）求证：∠DEG-∠DNM=∠A+∠EMB．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠C=∠ABE-∠A=60°，由平行线的性质得到∠DNM=∠C=60°，根据三角形的内角和得到∠DMN=180°-∠MDN-∠DNM=50°，由对顶角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形外角的性质得到∠DEG=∠MDN+∠C，∠MDN=∠A+∠AMD，由平行线的性质得到∠DNM=∠C，由对顶角相等得到∠BME=∠AMD，于是得到结论．

解答 解：（1）∵∠ABE=110°，∠A=50°，
∴∠C=∠ABE-∠A=60°，
∵MN∥BC，
∴∠DNM=∠C=60°，
∵∠MDN=70°，
∴∠DMN=180°-∠MDN-∠DNM=50°，
∴∠MEB=∠DMN=50°，
∴∠GEF=∠MEB=50°；

（2）∵∠DEG=∠MDN+∠C，∠MDN=∠A+∠AMD，
∴∠DEG=∠A+∠AMD+∠C，
∵MN∥BC，
∴∠DNM=∠C，
∵∠BME=∠AMD，
∴∠DEG-∠DNM=∠A+∠EMB．

点评 本题考查了三角形的内角和，平行线的性质，三角形的外角的性质，对顶角相等，熟练掌握各定理是解题的关键．