Question

在平面直角坐标系中，已知A，B两点分别在x轴，y轴上，OA=OB=4，C在线段OA上，AC=3，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，直线AE交y轴于D．
（1）求点D坐标．
（2）动点P从点A出发，沿射线AO方向以每秒1个单位长度运动，设点P的运动时间为t秒，△POB的面积为y，求y与t之间的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．
（3）在（2）问的条件下，当t=1，PB=5时，在y轴上是否存在一点Q，使△PBQ为以PB为腰的等腰三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后根据AD与AC垂直，即可求得直线AC的一次项系数，即可求得AD的解析式，进而求得D的坐标；
（2）分0≤t＜4和t＞4两种情况，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）分B是顶角的顶点和P是顶角顶点两种情况讨论，根据等腰三角形的定义即可求解．

解答：解：（1）∵OA=4，AC=3，
∴OC=OA-AC=4-3=1，则C的坐标是（1，0），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：

b=4 k+b=0

，
解得：

b=4 k=-4

，
则直线BC的解析式是y=-4x+4．
设直线AD的解析式是：y=

1

4

x+c，把A（4，0）代入得：1+c=0，
解得：c=-1，
则直线AD的解析式是y=

1

4

x-1．
令x=0，解得：y=-1，
则D的坐标是（0，-1）；
（2）当0≤t＜4时，OP=4-t，则y=

1

2

OP•OB=

1

2

×4×（4-t）=8-2t；
当t＞4时，OP=t-4，则y=

1

2

OP•OB=

1

2

×4×（t-4）=2t-8；
（3）当B是顶角的顶点时，当Q在B的上边时，BQ=BP=5，则OQ=5+4=9，则Q的坐标是（0，9），当Q在B的下方时，OQ=5-4=1，
则Q的坐标是（0，-1）；
当P是顶角顶点时，则Q和B关于x轴对称，则Q的坐标是（0，-4）．
总之，Q的坐标是：（0，9）或（0，-1）或（0，-4）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及直线垂直的条件，正确进行讨论是解决本题的关键．