Question

如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AC=8，AC：CD=2：1，试求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）由OC∥AB，根据平行线的性质，即可得∠OCA=∠CAB，又由OA=OC，根据等边对等角，即可得∠OAC=∠OCA，则可证得AC平分∠DAB；
（2）由圆心O在AD上，可知AD是直径，根据圆周角定理，即可得∠ACD=90°，然后利用勾股定理即可求得答案．

解答：（1）证明：∵OC∥AB，
∴∠OCA=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAB，
即AC平分∠DAB；

（2）解∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵AC=8，AC：CD=2：1，
∴CD=4，
在Rt△ACD中，AD=

AC2+CD2

=4

5

，
∴OA=

1

2

AD=2

5

，
∴⊙O的半径为2

5

．

点评：此题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题比较简单，解题的关键是数形结合思想的应用，注意掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．