Question

8．已知点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）如图1，连接OD交AC于点F，cos∠DAB=$\frac{3}{5}$，求$\frac{AF}{FC}$的值．
（2）如图2，连接OD，$\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，求tan∠ADO的值．
（3）如图3，连接BD，若cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，求tan∠BDC的值．
（4）如图4，连接OD交AC于F，DC、AB的延长线交于点G．若$\frac{OF}{DF}=\frac{2}{3}$，求tan∠G的值．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，如图1，根据同角的三角函数：cos∠DAB=cos∠COB=$\frac{3}{5}$，设CG=3x，OC=5x，表示AD=AG=9x，根据角平分线的性质得：$\frac{AF}{OF}=\frac{DF}{OF}$=$\frac{9}{5}$，再证明△ADF∽△COF，列比例式可得结论；
（2）如图2，作辅助线，同理根据$\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，设CD=3x，AD=4x，则AC=5x，在直角△OCG中根据勾股定理列方程求出半径OC的长，即可表示出tan∠ADO=tan∠DOC的值；
（3）同理设AD=4x，AC=5x，则DC=3x，在Rt△CDP中，求出tan∠BDC的值；
（4）如图4，同理作辅助线，根据角平分线性质设AO=2x，AD=3x，则AP=AD=3x，或利用相似设未知数，由勾股定理和相似表示OC和CG的长，代入三角函数式即可．

解答 解：（1）如图1，过C作CG⊥AB于G，连接OC，
∵DC为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠COB=∠DAB，
∴cos∠DAB=cos∠COB=$\frac{3}{5}$，
设CG=3x，OC=5x，
由勾股定理得：OG=4x，
∵OA=OC，
∴OA=5x，∠OAC=∠ACO，
∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠OAC，
∵∠ADC=∠AGC=90°，AC=AC，
∴△ADC≌△AGC，
∴AD=AG=AO+OG=5x+4x=9x，
∵OF平分∠DAB，
∴$\frac{AD}{AO}=\frac{DF}{OF}=\frac{9x}{5x}=\frac{9}{5}$，
∵∠AFD=∠OFC，
∠DAC=∠ACO，
∴△ADF∽△COF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{DF}{OF}$=$\frac{9}{5}$；
（2）如图2，过C作CG⊥AB于G，连接AC、OC，
∵$\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，
设CD=3x，AD=4x，则AC=5x，
∵∠DAC=∠CAB，
∴CD=CG=3x，
则AG=4x，
设OC=a，OA=a，则OG=4x-a，
由勾股定理得：a²=（3x）²+（4x-a）²，
a=$\frac{25}{8}$x，
在Rt△OCG中，∴tan∠ADO=tan∠DOC=$\frac{DC}{CO}$=$\frac{3x}{\frac{25}{8}x}$=$\frac{24}{25}$；
（3）∵cos∠CAD=$\frac{4}{5}$=$\frac{AD}{AC}$，
设AD=4x，AC=5x，则DC=3x，
过C作CG⊥AB于G，连接OC，
则CG=DC=3x，AG=4x，
同理得：AO=OC=$\frac{25}{8}$x，
由（1）得：OC∥AD，OA=OC，
∴DP=BP，
∴OP是△ADB的中位线，
∴OP=$\frac{1}{2}$AD=2x，
∴PC=$\frac{25}{8}$x-2x=$\frac{9}{8}$x，
在Rt△CDP中，tan∠BDC=$\frac{PC}{DC}$=$\frac{\frac{9}{8}x}{3x}$=$\frac{3}{8}$；
（4）如图4，过C作CP⊥AB于P，连接OC，
由（1）得：AC平分∠DAO，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{OF}{DF}$，
∵$\frac{OF}{DF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，
设AO=2x，AD=3x，则AP=AD=3x，
∴OC=2x，OP=x，
由勾股定理得：CP=$\sqrt{3}$x，
∴CD=CP=$\sqrt{3}$x，
∴OC∥AD，
∴△OCG∽△ADG，
∴$\frac{CO}{AD}=\frac{CG}{DG}$，
∴$\frac{2x}{3x}=\frac{CG}{CG+\sqrt{3}x}$，
∴CG=2$\sqrt{3}$x，
在Rt△OCG中，tan∠G=$\frac{OC}{CG}$=$\frac{2x}{2\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质和判定、切线的性质等知识，运用了类比的方法，四个问题中，条件和结论交换，利用三角函数的比例式设未知数，找等量关系式求出未知数，使问题得以解决．