Question

如图，抛物线与x轴交于A（6，0）、B（19，0）两点，与y轴交于点C（0，8），直线CD∥x轴交抛物线于D点．动点P，Q分别从C，D两点同时出发，速度均为每秒1个单位，点P向射线DC方向运动，点Q向射线BD方向运动，设P、Q运动的时间为t（秒），AQ交CD于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式；
（3）连接BE．是否存在这样的时刻t，使得∠AEB=∠BDC？若存在请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴交于A（6，0），B（19，0），
∴假设解析式为：y=a（x-6）（x-19），
∵抛物线与y轴交于点C（0，8），
∴当x=0时，y=8，
当y=8时，8=a（0-6）（0-19），
∴a=，
∴抛物线解析式为：y=（x-6）（x-19）=x²-x+8，

（2）如图，作PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，
∵CD∥x轴，
∴PF=DH=OC=8，OH=CD=25，
∵OA=6，OB=19，
∴BH=OH-OB=6，
∴BD==10，
∵△BDH∽△BQG，
∴==．
由题意得CP=DQ=t，AF=t+6，
∴==，
∴QG=t+8，BG=t+6，
∴FG=t+19+t+6=t+25．
∴S=S_梯形PFGQ-S_△PAF-S_△AQG=（PF+QG）•FG-AF•PF-BG•QG，
=t²+8.8t+152．

（3）∵AC=BD=10，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠ACD=∠BDC．
若∠AEB=∠BDC，则∠AEC+∠BED=∠BED+∠EBD，
∴∠AEC=∠EBD．
同理，∠BED=∠EAC．
∴△AEC∽△EBD．
∴=，
即=，
∴DE=5（DE=20＞AB=13舍），
∵△QED∽△QAB，
∴=，
即=，
解得t=．
分析：（1）利用A，B，C点的坐标，利用交点式求出二次函数的解析式即可；
（2）作PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，由（1）中所求A，B，C，D，的坐标，根据三角形相似可求出PF，QG，FG，的长，再利用梯形的面积减去△APF与△AQG的面积即可．
（3）若∠AEB=∠BDC，则根据△AEC∽△EBD，△QED∽△QAB求出t的值．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数图象上点的坐标特点及等腰梯形的性质，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差“关系求解．