Question

11．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若PB=6，DB=8，求DC的长度；
（3）在（2）中的条件下，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由DE与PE垂直，得到∠E为直角，再由已知角相等及对顶角相等，得到∠PBD=∠E=90°，利用切线的判定方法判断即可得证；
（2）在直角三角形PBD中，利用勾股定理求出PD的长，利用切线长定理得到PC=PB=6，由PD-PC即可求出DC的长；
（3）在直角三角形CDO中，设OC=r，则有DO=8-r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．

解答 （1）证明：∵DE⊥PE，
∴∠E=90°，
∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠EDB+∠DOE=∠EPB+∠POB，即∠OBP=∠E=90°，
∵OB为圆的半径，
∴PB为圆O的切线；
（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，
根据勾股定理得：PD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC=PB=6，
∴DC=PD-PC=10-6=4；
（3）解：在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8-r，
根据勾股定理得：（8-r）²=r²+4²，
解得：r=3，
则圆的半径为3．

点评 此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．