Question

15．如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，把一块含30°角的直角三角尺（△DEF）的直角顶点D放在AB边的中点上，将直角三角尺绕点D转动，其中DE交AC于点M，DF交BC于点N．
（1）判断DM与DN的大小关系，并说明理由．
（2）在转动过程中，直角三角尺与△ABC重叠部分为四边形DMCN，试判断四边形DMCN的面积是否会发生变化？若变化，请说明是如何变化的；若不变化，求出其面积．

Answer 1

分析 （1）连接BD，求出∠MBD=∠C，∠MDB=∠CDN，BD=DC，证△BDM≌△CDN即可；
（2）求出△BDM和△CDN面积相等，求出四边形DMBN的面积等于△BDC面积，等于△ABC面积的一半，求出△ACB的面积即可．

解答 （1）相等，
证明：连接BD，
∵△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，D为AC中点，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$AC，∠ABD=∠CBD=∠A=∠C=45°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°=∠EDF，
∴∠MDB=∠CDN=90°-∠BDN，
在△BMD和△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBD=∠C}\\{BD=DC}\\{∠BDM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN；

（2）解：不发生变化，
∵△BMD≌△CND，
∴S_△BMD=S_△CND，
∴S_{四边形DMBN}=S_△BMD+S_△BDN
=S_△CDN+S_△BDN=S_△BDC
=$\frac{1}{2}$S_△ACB
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1×1
=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，连接BD构造全等三角形是解题的关键．