Question

19．如图，正六边形ABCDEF的面积为2009，A′至F′为各边中点，顺次连接AA′至FF′，求阴影六边形的面积．

Answer 1

分析 设正六边形ABCDEF的边长为2a，作F′M⊥EF于M，则∠M=90°，由正六边形的性质得出∠EF′M=30°，得出EM=$\frac{1}{2}$a，MF′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，由勾股定理求出FF′，证明△A′FG∽△F′FE，得出对应边成比例$\frac{AG}{EF′}=\frac{FG}{EF}=\frac{A′F}{FF′}$，得出FG=2A′G=2F′H，求出FG=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$a，得出GH=FF'-FG-HF'=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$a，由阴影正六边形与正六边形ABCDEF的面积比等于相似比的平方，即可得出阴影六边形的面积．

解答 解：设正六边形ABCDEF的边长为2a，
∵A′、F′分别是EF、DE的中点，
∴A′F=EF′=a，
作F′M⊥EF于M，如图所示：
则∠M=90°，
由正六边形的性质得：∠FEF′=120°，
∴∠MEF′=60°，
∴∠EF′M=30°，
∴EM=$\frac{1}{2}$a，MF′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴FM=$\frac{5}{2}$a，
∴FF′=$\sqrt{F{M}^{2}+MF{′}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
由题意得：阴影六边形是正六边形，
∴∠A′GF=120°=∠FED，
又∵∠A′FG=∠F′FE，
∴△A′FG∽△F′FE，
∴$\frac{AG}{EF′}=\frac{FG}{EF}=\frac{A′F}{FF′}$，
∴FG=2A′G=2F′H，$\frac{FG}{2a}=\frac{a}{\sqrt{7}a}$，
解得：FG=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$a，
∴GH=FF'-FG-HF'=FF'-$\frac{3}{2}$FG=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$a，
∵阴影正六边形∽正六边形ABCDEF，
∴阴影正六边形的面积：正六边形ABCDEF的面积=（$\frac{4\sqrt{7}}{7}$a：2a）²=4：7，
∴阴影六边形的面积=$\frac{4}{7}$×2009=1148．

点评 本题考查了正六边形的性质、勾股定理，三角函数、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要作辅助线运用勾股定理和证明三角形相似才能得出结果．