Question

【题目】（问题原型）

如图①，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，则∠M＝∠B+∠D，小明解决上述问题的过程如下：

如图②，过点M作MN∥AB

则∠B＝_______（_______）

∵AB∥CD，（已知）

MN∥AB（辅助线的做法）

∴MN∥CD（______）

∴∠______＝∠D（______）

∴∠B+∠D＝∠BMD

请完成小明上面的过程．

（问题迁移）

如图③，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，猜想∠M、∠B、∠D之间有怎样的数量关系，并加以说明．

（推广应用）

（1）如图④，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N，∠M＝96°，则∠N＝_____°；

（2）如图⑤，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N，∠N＝25°，则∠M＝______°；

（3）如图⑥，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠G＝78°，∠F＝64°，∠E＝64°，则∠M＝_______°．

Answer 1

【答案】(问题原型)∠BMN；两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；∠NMD；两直线平行，内错角相等；(问题迁移)∠BMD＝∠D﹣∠B；证明见解析；(推广应用)（1）∠N＝48°；（2）∠M＝50°；（3）∠M＝39°，

【解析】

(问题原型)：过点M作MN∥AB，根据平行线的性质即可得答案；(问题迁移)过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得∠1＝∠B，∠NMD＝∠D，利用角的和差即可得答案；(推广应用)：（1）利用图②结论，结合角平分线的性质即可得答案；（2）利用图③的结论，结合角平分线的性质即可得出答案；（3）如图⑥，过G，F，E分别作GN∥AB，FH∥AB，EP∥AB，根据平行线的性质，结合角平分线的性质利用图②的结论即可得出答案.

(问题原型)：

如图②，过点M作MN∥AB，

则∠B＝∠BMN（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD，（已知）

∴MN∥AB（辅助线的做法）

∴MN∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）

∴∠NMD＝∠D（两直线平行，内错角相等）

∴∠B+∠D＝∠BMD，

故答案为：∠BMN，两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两直线平行，∠NMD，两直线平行，内错角相等，

（问题迁移）：

如图③，过点M作MN∥AB，

∴∠1＝∠B，

∵AB∥CD，

∴MN∥AB，

∴∠NMD＝∠D，

∵∠NMD＝∠1+∠BMD，

∴∠BMD＝∠D﹣∠B；

（推广应用）：

（1）如图④，由如图②的结论可得，∠ABM+∠CDM＝∠M＝96°，∠N＝∠ABN+∠CDN，

∵BN，DN分别平分∠ABM，∠CDM，

∴∠ABN+∠CDN＝＝（∠ABM+∠CDM）＝48°，

∴∠N＝48°；

（2）如图⑤，由如图③的结论可得，∠M＝∠CDM﹣∠ABM，

∵BN，DN分别平分∠ABM，∠CDM，

∴∠CDN﹣∠ABN＝∠CDM﹣∠ABM＝（∠CDM﹣∠ABM）＝∠M＝∠N＝25°，

∴∠M＝50°；

（3）如图⑥，过G，F，E分别作GN∥AB，FH∥AB，EP∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD，

∴∠2＝∠GFH，∠3＝∠EFH，

∴∠2+∠3＝∠GFE＝64°，

∴∠1+∠4＝∠BGF+∠DEF﹣∠GFE＝78°，

∵AB∥GN，EP∥CD，

∴∠ABG＝∠1，∠CDE＝∠4，

∴∠ABG+∠CDE＝78°，

∵BM，DM分别平分∠ABG，∠CDE，

∴∠ABM＝∠ABG，∠CDM＝∠CDE，

由如图②中的结论可得∠M＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABG+∠CDE）＝×78°＝39°，

故答案为：48，50，39．