Question

已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD与BE相交于点H，且BH=AC，DH=DC．
（1）求∠ABC的度数，
（2）BE与AC有怎样的位置关系，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=×（180°-90°）=45°．

（2）BE⊥AC，
理由是：∵Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠CAD=∠HBD，
∵∠ADB=90°，
∴∠HBD+∠BHD=90°，
∵∠BHD=∠AHE，
∴∠AHE+∠CAD=90°，
∴∠AEH=180°-90°=90°，
∴BE⊥AC．
分析：（1）求出∠BDE=∠ADC=90°，根据HL证Rt△BDE≌Rt△ADC，推出AD=BD，推出∠BAD=∠ABD即可．
（2）根据Rt△BDE≌Rt△ADC得出∠CAD=∠HBD，求出∠HBD+∠BHD=90°，即可求出∠AHE+∠CAD=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEH=90°，即可得出答案．
点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，垂直定义，全等三角形的性质和判定的应用，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．全等三角形的对应边相等，对应角相等．