Question

【题目】如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC

（1）求证：AD是半圆O的切线；

（2）求证：△ABC∽△DOA；

（3）若BC=2，CE=，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）要证AD是半圆O的切线只要证明∠DAO=90°即可；

（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得证；

（3）先求出AC、AB、AO的长，由第（2）问的结论△ABC∽△DOA，根据相似三角形的性质：对应边成比例可得到AD的长．

（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

又∵OD∥BC，

∴∠AEO=∠ACB=90°，

∴∠AOD+∠BAC=90°，

又∵∠D=∠BAC，

∴∠AOD+∠D=90°，

∴∠OAD=90°，

∴AD⊥OA，

∴AD是半圆O的切线；

（2）证明：由（1）得∠ACB=∠OAD=90°，

又∵∠D=∠BAC，

∴△ABC∽△DOA；

（3）解：∵O为AB中点，OD∥BC，

∴OE是△ABC的中位线，则E为AC中点，

∴AC=2CE，

∵BC=2，CE=，

∴AC=

∴AB=，

∴OA=AB=，

由（2）得：△ABC∽△DOA，

∴，

∴，

∴．