Question

5．如图，正方形ABCD中，AB=4$\sqrt{5}$，P是BC的中点，DE⊥AP，垂足为点E．
（1）求AP的长．
（2）将△ADE沿着射线AP平移，设点A平移的距离为x，平移后的图形与四边形APCD重叠的面积为y，求y与x的函数关系，并直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，可得AB=4$\sqrt{5}$，BP=4$\sqrt{5}$$÷2=2\sqrt{5}$；然后在直角三角形ABP中，根据勾股定理，求出AP的长是多少即可；
（2）首先根据相似三角形的判定方法，判断出△ABP∽△DEA，求出EA、E′A′、DE、D′E′的值是多少，进而求出三角形A′D′E′的面积是多少；然后判断出△DD′G∽△D′E′A′，△D′FG∽△D′E′A′，进而求出FG、D′F的大小，再用三角形A′D′E′的面积减去三角形FGD′的面积，求出y的值是多少，判断出y与x的函数关系，再根据AP的长度判断出x的取值范围即可．

解答 解：（1）因为AB=4$\sqrt{5}$，BP=4$\sqrt{5}$$÷2=2\sqrt{5}$，
所以AP=$\sqrt{{AB}^{2}{+BP}^{2}}=\sqrt{{（4\sqrt{5}）}^{2}{+（2\sqrt{5}）}^{2}}$=$\sqrt{80+20}=10$；

（2）如图：，
∵DE⊥AP，∴∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠DAE+∠BAP=90°，∴∠ADE=∠BAP，∠ABP=∠DEA，
∴△ABP∽△DEA，$\frac{EA}{BP}=\frac{DA}{AP}$，
∴EA=4$\sqrt{5}×2\sqrt{5}$÷10=4，A′E′=4，
∴DE=$\sqrt{{AD}^{2}{-AE}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{5}）}^{2}{-4}^{2}}$=$\sqrt{80-16}$=8，D′E′=8，
∴三角形A′D′E′的面积是：4×8÷2=16，
∵△DD′G∽△D′E′A′，
∴$\frac{DD′}{D′E′}=\frac{D′G}{E′A′}=\frac{D′G}{4}$，∴D′G=4x÷8=0.5x，
∵△D′FG∽△D′E′A′，
∴$\frac{D′F}{D′E′}=\frac{FG}{E′A′}=\frac{FG}{4}$，D′F=8FG÷4=2FG，
∴FG²+（2FG）²=（0.5x）²，
解得FG=$\frac{\sqrt{5}}{10}x$，
∴D′F=$\frac{\sqrt{5}}{10}x×2=\frac{\sqrt{5}}{5}x$，
∵0＜x≤AP，
∴y=16-$（\frac{\sqrt{5}}{10}x）×（\frac{\sqrt{5}}{5}x）×\frac{1}{2}$=16-$\frac{{x}^{2}}{20}$（0＜x≤10）．

点评 此题主要考查了正方形的性质，平移的性质，以及相似三角形的判定和三角形的面积的求法，要熟练掌握．