Question

如图1，正方形ABCD在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A、D在x轴上，点B的坐标为（3，3

3

），点F在AD上，且AF=3，过点F且平行于y轴的线段EF与BC交于点E，现将正方形一角折叠，使顶点B落在EF上，并与EF上的点G重合，折痕为HI，且知EG=

3

，H（5，3

3

），点J为折痕HI所在的直线与x轴的交点．
（1）求折痕HI所在直线的函数表达式；
（2）若点P在线段HI上，当△PGI为等腰三角形时，请求出点P的坐标，并写出解答过程．
（3）①如图2，在y轴上有一点Q，其坐标为（0，-2k），作直线JQ，另有一直线y=

k

2

x-

k

2

，两直线交于点S，请证明点S在正方形ABCD的AB边所在直线上；
②在①中，在直线y=

k

2

x-

k

2

上有一点R的横坐标为-1，那么请问

QS-QR

JS

的值为定值吗？若是定值则求出其值，若不是则说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设HI所在直线的函数表达式y=kx+b，把H（5，3

3

）代入，用k表示b，由点B到HI的距离为

3

，列出方程求出k的值，则HI所在直线的函数表达式可求，
（2）根据（1）可得BG的方程，由I的坐标求G的坐标，设P（t+2，

3

t），然后分别求出当PG=PI时，PG=PI时，当PG=PI时三种情况求出点P的坐标．
（3））①由（1）得J（2，0），结合Q（0，-2k），求得JQ：y=k（x-2）与直线2y=k（x-1）联立，即得S的坐标，从而说明S在直线AB所在直线上②求出Q，J，S，R的坐标，再求得QS=3

1+k2

，QR=

1+k2

，JS=

1+k2

，即可得

QS-QR

JS

为定值．

解答：解：（1）设HI所在直线的函数表达式y=kx+b，
∵直线过H（5，3

3

），则3

3

=5k+b，即b=3

3

-5k，
∵BG=2

3

，
∴点B到HI的距离为

3

，即

3

•

k2+1

=|3k+b-3

3

|=|3k++3

3

-5k-3

3

|，
两边平方得3k²+3=4k²，即k=±

3

，k=-

3

不合题意舍去，
∴HI所在直线的函数表达式y=

3

x-2

3

，
（2）根据（1）可得BG：y=4

3

-

3

3

x，I（3，

3

），
∴G（6，2

3

），
设P（t+2，

3

t），则
当PG=PI时，（t-4）²+3（t-2）²=（t-1）²+3（t-1）²，解得t=2，P₁（4，2

3

），
当PG=PI时，（t-4）²+3（t-2）²=（6-3）²+（

3

）²，解得t=4或t=1（舍去，与I点重合），P₂（6，4

3

），
当PG=PI时，（t-1）²+3（t-1）²=（6-3）²+（

3

）²，解得t=1-

3

或1+

3

，
∴P₃（3-

3

，-3+

3

），P₄（3+

3

，3+

3

）．
（3）①由（1）得J（2，0），
∵Q（0，-2k），直线2y=k（x-1），
∴JQ：y=k（x-2）与直线2y=k（x-1）联立，即得S（3，k），
∴S在直线AB所在直线上
②∵Q（0，-2k），J（2，0），S（3，k），R（-1，-k）．
QS=3

1+k2

，QR=

1+k2

，JS=

1+k2

，
∴

QS-QR

JS

=

3 1+k2 - 1+k2

1+k2

=2．

点评：本题主要考查了一次函数的综合题，解题的关键是分类讨论数学思想方法，正确理解题意．