Question

11．已知点A（0，-4），点B（2，-1），问坐标轴上有多少个点，使△ABC的面积为5，画出图形，并求出每个点的坐标（要有过程）

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：①当点C在y轴上时，如图1，此时△ABC的面积是以AC为底，以点B的横坐标为高；②当点C在x轴上时，如图2，此时△ABC的面积是以AB为底边，以点C到直线AB的距离为高；根据三角形的面积公式，即可解答．

解答 解：①当点C在y轴上时，如图1，此时△ABC的面积是以AC为底，以点B的横坐标为高，

设点C的坐标为（0，y），则AC=|-4-y|，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×|-4-y|×2$=5，
∴|-4-y|=5，
解得：y=1或y=-9，
∴点C的坐标为（0，1）或（0，-9）；
②当点C在x轴上时，如图2，此时△ABC的面积是以AB为底边，以点C到直线AB的距离为高，

设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，-4），点B（2，-1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{2}$x-4，
设点C的坐标为（m，0），
则点C到直线AB的距离为：$\frac{|\frac{3}{2}x-4|}{\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（-1）^{2}}}=\frac{|3x-8|}{\sqrt{13}}$，
AB=$\sqrt{（-4+1）^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{13}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{13}×\frac{|3x-8|}{\sqrt{13}}=5$，
整理得：|3x-8|=10，
解得：x=6或x=-$\frac{2}{3}$，
∴点C的坐标为（6，0）或（$-\frac{2}{3}$，0）
综合①②，点C的坐标为（6，0）或（$-\frac{2}{3}$，0）或（0，1）或（0，-9）．

点评 本题考查图形与坐标，解决本题的关键是分两种情况作出图形，结合三角形面积公式解答．