Question

12．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）；
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，在x轴上存在一点N，使得A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于A、B关于抛物线的对称轴对称，根据对称轴方程求出B点的坐标，然后将它们代入抛物线的解析式可求出待定系数的值；OD平分∠BOC，那么直线OD的解析式为y=x，联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标；
（2）分两种情况讨论：①以AD为对角线的平行四边形AMDN，此时MD∥x轴，则M、D的纵坐标相同，由此可求得M点的坐标；②以AD为边的平行四边形ADNM，由于平行四边形是中心对称图形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N纵坐标的绝对值相等，可据此求出M点的坐标；
（3）由于BD的长为定值，若△BPD的周长最短，那么PB+PD应该最短，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，连接AD，直线AD与对称轴的交点即为所求的P点，可用待定系数法求出直线AD的解析式，联立抛物线对称轴方程即可得到P点坐标．

解答 解：（1）∵OA=2，
∴A（-2，0）．
∵A与B关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
∴B（3，0），
∵A、B，两点在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2-2b+c=0}\\{-\frac{9}{2}+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=3}\end{array}\right.$；
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3．
过D作DE⊥x轴于E．
∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC，
∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，
∴DE=OE，即x_D=y_D，
∴x=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3，
解得x₁=2，x₂=-3（舍去），
∴D（2，2）；

（2）分两种情况讨论：
①当AD为平行四边形AMDN的对角线时，
∵MD∥AN，即MD∥x轴，
∴y_M=y_D，
∴M与D关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
∴M（-1，2）；
②当AD为平行四边形ADNM的边时，
∵平行四边形ADNM是中心对称图形，△AND≌△ANM，
∴|y_M|=|y_D|，即y_M=-y_D=-2，
∴令-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3=-2，即x²-x-10=0；
解得x=$\frac{1±\sqrt{41}}{2}$，
∴M（$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，-2）或M（$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$，-2）．
综上所述：满足条件的M点有3个，即M（-1，2）或M（$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，-2）或M（$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$，-2）；

（3）∵BD为定值，
∴要使△BPD的周长最小，只需PD+PB最小．
∵A与B关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
∴PB=PA，只需PD+PA最小．
连接AD，交对称轴于点P，此时PD+PA最小．
由A（-2，0），D（2，2）可得直线AD：y=$\frac{1}{2}$x+1，
令x=$\frac{1}{2}$，得y=$\frac{5}{4}$，
∴存在点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），使△BPD的周长最小．

点评 此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质等，需注意的是第（2）问在不确定平行四边形边和对角线的情况下需要分类讨论，以免漏解．