Question

【题目】如图，直线AB：y=﹣x+交坐标轴于A、B两点，直线AC与AB关于y轴对称，交x轴于点C．点P、Q分别是线段BC、AC上两个动点，且∠APQ始终等于30°．

（1）点B的坐标是（ ， ）；∠ABC= 度；

（2）若⊙O与AB相切，则⊙O的半径等于 ；

（3）当P点坐标为（﹣2，0）时，求CQ的长；

（4）当△APQ为等腰三角形时，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（8，0）；30；（2）4；（3）CQ的长为；（4）当△APQ为等腰三角形时，P点的坐标为（8，0）或（﹣，0）或（﹣8，0）．

【解析】

试题分析：（1）由B点是直线AB与x轴的交点，故令y=0，解出x的值即为B点的坐标，A点是直线AB与y轴的交点，令x=0，可得出A点坐标，由三角函数的正弦值可得出∠ABC的值；（2）圆与直线相切，圆的半径就等于圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式即可得出结论；（3）由两个等于30°的角和一个公共角可得出△CAP∽△PAQ，根据相似三角形的性质可找出AQ的值，再由CQ=AC﹣AQ，即可得出结论；（4）若三角形为等腰三角形，只需两条边相等即可，在此分哪两条边相等来讨论，即可得出结论．

解：（1）令y=0，则有0=﹣x+，

解得：x=8．

即点B的坐标是（8，0）．

令x=0，则有y=，

即点A的坐标为（0，）．

∴AO=，BO=8，

∴tan∠ABO==，

∴∠ABO=30°．

故答案为：（8，0）；30．

（2）∵⊙O与AB相切，

∴⊙O的半径为点O到直线AB的距离．

直线AB：y=﹣x+可变形为x+y﹣=0．

点O到直线AB的距离==4．

∴⊙O的半径为4．

故答案为：4．

（3）∵直线AC与AB关于y轴对称，

∴点C坐标为（﹣8，0），∠ACB=∠ABC=30°．

又∵点A的坐标为（0，），点P的坐标为（﹣2，0），

∴AO=，CO=8，AC==，PO=2，CP=CO﹣PO=6，AP==．

∵∠CAP=∠PAQ，∠ACP=∠APQ=30°，

∴△CAP∽△PAQ，

∴=，AQ==．

CQ=AC﹣AQ=．

故当P点坐标为（﹣2，0）时，CQ的长为．

（4）△APQ为等腰三角形分三种情况：

①当AQ=PQ时，如图1，

∵∠APQ=30°，AQ=PQ，

∴∠PAQ=30°，

∵∠ACO=30°，∠CAO=90°﹣∠ACO=60°，

∴∠PAO=∠CAO﹣∠PAQ=30°．

∵AO⊥BC，

∴PO=AOtan∠PAO=，

∴点P的坐标为（﹣，0）．

②当AP=AQ时，如图2，

此时P点与B点重合，Q点与C点重合，

∴点P的坐标为（8，0）．

③当AP=PQ时，如图3，

∵∠APQ=30°，∠PAQ=∠PQA==75°，

∴∠CPA=180°﹣∠ACP﹣CAP=180°﹣30°﹣75°=75°，

∴∠CAP=∠CPA=75°，

∴CP=CA=，

OP=CP﹣CO=﹣8．

∴点P的坐标为（﹣8，0）．

综上可知：当△APQ为等腰三角形时，P点的坐标为（8，0）或（﹣，0）或（﹣8，0）．