Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，AC=6，DE=2，求∠BDC的度数和BD之长．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：

分析：由于AB的垂直平分线交AC于点D，根据线段的垂直平方的性质得到DA=DB，然后根据等腰三角形的性质推出∠DBE=∠A，然后利用三角形外角的性质即可求出∠BDC的度数；设CD=x，利用已知条件和30°的角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2CD=2x，再根据AD+CD=AC列出方程2x+x=6，解方程求出x的值，进而求得BD的长．

解答：解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=∠DBE+∠A=60°；
设CD=x．
在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=2x，
∵AD+CD=AC，
∴2x+x=6，
解得x=2，
∴BD=4．

点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质等几何知识，难度适中．