Question

9．如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在轴上，与y轴的交点为B（0，4），且ac=b．平移直线y=-3x，使它经过点A，与抛物线的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式及直线AC的解析式；
（2）△ABC的面积为5．

Answer 1

分析 （1）根据顶点的特点得出4ac=b²，结合ac=b求得b=4，根据b的坐标求得c=4，进而求得a=1，从而求得二次函数的解析式，根据解析式求得顶点A的坐标，设出直线AC的解析式，代入A的坐标，根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）联立方程求得C的坐标，然后根据梯形的面积减去两个三角形的面积求得即可．

解答 解：（1）∵顶点A在轴上，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=0，
∴4ac=b²
∵ac=b．
∴4b=b²，
∵b≠0，
∴b=4，
∵抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点为B（0，4），
∴c=4，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+4，；
∵y=x²+4x+4=（x+2）²，
∴A（-2，0），
∵平移直线y=-3x，使它经过点A，与抛物线的另一个交点为C．
∴设直线AC为y=-3x+n，
把（-2，0）代入得，6+n=0，
∴n=-6，
∴直线AC的解析式为y=-3x-6；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-6}\\{y={x}^{2}+4x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴C（-5，9），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$（4+9）×5-$\frac{1}{2}$（5-2）×9-$\frac{1}{2}$×2×4=5．
故答案为5．

点评 本题考查了二次函数的性质，根据顶点坐标求得b的值是解题的关键．