Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上．

（1）b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）， ， （2）存在P的坐标是或（3）当EF最短时，点P的坐标是：（， ）或（， ）

【解析】试题分析：（1）根据题意得出答案；（2）分以点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况分别进行计算；两种情况都根据等腰直角三角形的性质得出点的坐标；（3）根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据OC=OA=3，OD⊥AC得出 D是AC的中点，从而得出点P的纵坐标，然后根据题意得出方程，从而求出点P的坐标.

试题解析：（1），， （-1,0）．

（2）存在．

第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．

∵OA=OC，∠AOC =90° ∴∠OCA=∠OAC=45°． ∵∠ACP1=90°， ∴∠MCP1=90°-45°=45°=∠C P1M．

∴MC=MP1． 由（1）可得抛物线为．

设，则， 解得：（舍去），．

∴． 则P1的坐标是．

第二种情况，当以A为直角顶点时，过点A作AP2⊥AC，交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点F． ∴P2N∥x轴．由∠CAO=45°， ∴∠OAP2=45°． ∴∠FP2N=45°，AO=OF=3．

∴P2N=NF． 设，则． 解得：（舍去），．

∴， 则P2的坐标是．

综上所述，P的坐标是或

（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．

根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短． 由（1）可知，在Rt△AOC中，

∵OC=OA=3，OD⊥AC， ∴ D是AC的中点． 又∵DF∥OC， ∴．

∴点P的纵坐标是则， 解得：．

∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．