Question

17．已知一次函数的图象过点A（2，1）和B（0，-3）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）在x轴上找一点P，使三角形AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设一次函数的解析式是y=kx+b（k≠0），把A、B的坐标代入求出即可；
（2）根据解析式求得交点坐标，进而根据三角形面积公式计算即可；
（3）分三种情况分别讨论求得即可．

解答 解：（1）设一次函数的解析式是：y=kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象过点A（2，1）和B（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=2k+b}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=-3，
∴一次函数的解析式是y=2x-3；
（2）设直线y=2x-3与x轴的交点为C，
∴C（$\frac{3}{2}$，0），
∴OC=$\frac{3}{2}$，
∵B（0，-3），
∴OB=3，
∴一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积：$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$；
（3）∵点A（2，1），
∴OA=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
①当OA=OP时，则P（-$\sqrt{5}$，0）或（$\sqrt{5}$，0）；
②当OA=AP时，则P（4，0）；
③当OP=AP时，则P（$\frac{5}{4}$，0）；
综上，在x轴上找一点P，使三角形AOP为等腰三角形，此时P的坐标为P（-$\sqrt{5}$，0）或（$\sqrt{5}$，0）或（4，0）或（$\frac{5}{4}$，0）．

点评 本题考查了用待定系数法求一处函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点，分类讨论思想的运用是解题的关键．