【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:BE与⊙O相切;
(2)设OE交⊙O于点F,若DF=1,BC=2 ,求阴影部分的面积.
【答案】
(1)证明:连接OC,如图,
∵CE为切线,
∴OC⊥CE,
∴∠OCE=90°,
∵OD⊥BC,
∴CD=BD,
即OD垂中平分BC,
∴EC=EB,
在△OCE和△OBE中
,
∴△OCE≌△OBE,
∴∠OBE=∠OCE=90°,
∴OB⊥BE,
∴BE与⊙O相切
(2)解:设⊙O的半径为r,则OD=r﹣1,
在Rt△OBD中,BD=CD= BC= ,
∴(r﹣1)2+( )2=r2,解得r=2,
∵tan∠BOD= = ,
∴∠BOD=60°,
∴∠BOC=2∠BOD=120°,
在Rt△OBE中,BE= OB=2 ,
∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC
=2S△OBE﹣S扇形BOC
=2× ×2×2 ﹣
=4 ﹣ π
【解析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠OCE=90°,再根据垂径定理得到CD=BD,则OD垂中平分BC,所以EC=EB,接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°,然后根据切线的判定定理得到结论;(2)设⊙O的半径为r,则OD=r﹣1,利用勾股定理得到(r﹣1)2+( )2=r2 , 解得r=2,再利用三角函数得到∠BOD=60°,则∠BOC=2∠BOD=120°,接着计算出BE= OB=2 , 然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式,利用阴影部分的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可.
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【题目】已知:如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm2?
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ中PQ的长度等于5cm?
(3)在(1)中,当P,Q出发几秒时,△PBQ有最大面积?
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【题目】如图,AD平分∠BAC交BC于点D,点F在BA的延长线上,点E在线段CD上,EF与AC相交于点G,∠BDA+∠CEG=180°.
(1)AD与EF平行吗?请说明理由;
(2)若点H在FE的延长线上,且∠EDH=∠C,若∠F=40°,求∠H的度数.
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【题目】如图,已知等腰直角△ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重合),PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
(1)求证:△APE是等腰直角三角形;
(2)若⊙O的直径为2,求 的值
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,同时将点A(﹣1,0)、B(3,0)向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度,分别得到A、B的对应点C、D.连接AC,BD
(1)求点C、D的坐标,并描出A、B、C、D点,求四边形ABDC面积;
(2)在坐标轴上是否存在点P,连接PA、PC使S△PAC=S四边形ABCD?若存在,求点P坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知BC是⊙O的直径,点D为BC延长线上的一点,点A为圆上一点,且AB=AD,AC=CD.
(1)求证:△ACD∽△BAD;
(2)求证:AD是⊙O的切线.
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【题目】已知:如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).
(1)四边形EFGH的形状是 ,证明你的结论.
(2)当四边形ABCD的对角线满足 条件时,四边形EFGH是矩形;
(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形? .
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【题目】某小区为了绿化环境,计划分两次购进A、B两种花草,第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵,共花费675元;第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵两次共花费940元两次购进的A、B两种花草价格均分别相同.
、B两种花草每棵的价格分别是多少元?
若再次购买A、B两种花草共12棵、B两种花草价格不变,且A种花草的数量不少于B种花草的数量的4倍,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.
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【题目】已知等腰三角形的腰长为6cm,底边长为4cm,以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆,那么该圆与底边的位置关系是( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.不能确定
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