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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:BE与⊙O相切;
(2)设OE交⊙O于点F,若DF=1,BC=2 ,求阴影部分的面积.

【答案】
(1)证明:连接OC,如图,

∵CE为切线,

∴OC⊥CE,

∴∠OCE=90°,

∵OD⊥BC,

∴CD=BD,

即OD垂中平分BC,

∴EC=EB,

在△OCE和△OBE中

∴△OCE≌△OBE,

∴∠OBE=∠OCE=90°,

∴OB⊥BE,

∴BE与⊙O相切


(2)解:设⊙O的半径为r,则OD=r﹣1,

在Rt△OBD中,BD=CD= BC=

∴(r﹣1)2+( 2=r2,解得r=2,

∵tan∠BOD= =

∴∠BOD=60°,

∴∠BOC=2∠BOD=120°,

在Rt△OBE中,BE= OB=2

∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC

=2SOBE﹣S扇形BOC

=2× ×2×2

=4 π


【解析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠OCE=90°,再根据垂径定理得到CD=BD,则OD垂中平分BC,所以EC=EB,接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°,然后根据切线的判定定理得到结论;(2)设⊙O的半径为r,则OD=r﹣1,利用勾股定理得到(r﹣1)2+( 2=r2 , 解得r=2,再利用三角函数得到∠BOD=60°,则∠BOC=2∠BOD=120°,接着计算出BE= OB=2 , 然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式,利用阴影部分的面积=2SOBE﹣S扇形BOC进行计算即可.

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