Question

如图1，在?ABCD中，∠BCD的平分线交直线AD于点F，∠BAD的平分线交DC延长线于E．
（1）在图1中，证明AF=EC；
（2）若∠BAD=90°，G为CF的中点（如图2），判断△BEG的形状，并证明．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BAD=∠BCD，
∵∠BCD的平分线CF，∠BAD的平分线AM，
∴∠4=∠BAD，∠2=∠3=∠BCD，
∴∠2=∠3=∠4，
∵BC∥AD，
∴∠1=∠4，
∴∠1=∠2，
∴AM∥CF，
即AE∥CF，AE≠CF，
∴四边形AECF是梯形，
∵AM∥CF，
∴∠3=∠E=∠4，
∴梯形AECF是等腰梯形，
∴AF=CE；
（2）△BEG是等腰直角三角形，
证明：连接AG，过G作GN∥BC交AB于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠CBN=90°，
∴∠GNB=90°，BC∥GN∥AD，
∵G为CF的中点，
∴N为AB中点，
即NG是AB的垂直平分线，
∴BG=AG，
∴∠BGN=∠AGN，
∵NG∥AD，
∴∠AGN=∠GAF=∠BGN，
∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，∠DCF=45°，
∴∠DFC=45°，
∴∠ECG=∠AFC=90°+45°=135°，
在△AFG和△ECG中
∵，
∴△AFG≌△ECG（SAS），
∴AG=EG=BG，∠EGC=∠AGF，∠GAF=∠GEC，
∵∠AGN=∠GAF=∠BGN，
∴∠AGN=∠GAF=∠BGN=∠GEC，
∵∠GAF+∠AGF=180°-135°=45°，
∴∠EGC+∠BGF=2（∠GAF+∠AGF）=90°
∴△BEG是等腰直角三角形．
分析：（1）求出CF∥AE，得出梯形AFCE，推出∠E=∠3=∠4，得出等腰梯形即可；
（2）证△AFG≌△ECG，推出AG=EG，AG=EG=BG，∠EGC=∠AGF，∠GAF=∠GEC，求出BG=AG，和求出∠EGC+∠BGF=90°，即可得出答案．
点评：本题考查了等腰梯形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．