Question

【题目】问题探究

(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为　 　；

(2)如图②，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；

问题解决

(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)BE+DF=EF；(2)存在，BD的最大值为6；(3)存在，AC的最大值为2+2．

【解析】

（1）作辅助线，首先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AEG，进而得到EF=FG问题即可解决；

（2）将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE，由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，可得DE=BD，根据DE＜DC+CE，则当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，问题即可解决；

（3）以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，由旋转的性质得△DBE是等边三角形，则DE=AC，根据在等边三角形BCE中，EF⊥BC，可求出BF，EF，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，可求出DF，则AC=DE≤DF+EF，代入数值即可解决问题.

(1)如图①，延长CD至G，使得DG=BE，

∵正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠AFG=90°，

∴△ABE≌△ADG，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠GAF=∠EAF，

又∵AF=AF，

∴△AEF≌△AEG，

∴EF=GF=DG+DF=BE+DF，

故答案为：BE+DF=EF；

(2)存在．

在等边三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，

如图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE．

由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，

∴△DBE是等边三角形，

∴DE=BD，

∴在△DCE中，DE＜DC+CE=4+2=6，

∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，

∴BD的最大值为6；

(3)存在．

如图③，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，

∵AB=BD，∠ABC=∠DBE，BC=BE，

∴△ABC≌△DBE，

∴DE=AC，

∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，

∴BF=BC=2，

∴EF=BF=×2=2，

以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，

∴DF=BC=×4=2，

∴AC=DE≤DF+EF=2+2，即AC的最大值为2+2．