Question

18．如图，某村计划修一条水渠，横截面是等腰梯形，底角为120°，两腰与底BC的和为4m，则梯形的最大面积为（　　）

• A． $4\sqrt{3}{m^2}$
• B． 9m²
• C． 3m²
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}{m^2}$

Answer 1

分析 过B作AD的垂线BE于点E，设AB=xm，利用x表示出高BE和AD、BC的长，利用x表示梯形的面积，然后利用函数的性质即可求解．

解答 解：过B作AD的垂线BE于点E．
则∠ABE=120°-90°=30°．
设AB=xm，则BC=（4-2x）m，
在直角△ABE中，BE=AB•cos∠ABE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$xm，AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$xm，
则AD=x+BC=x+（4-2x）=（4-x）m，
则梯形ABCD的面积y=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•BE=$\frac{1}{2}$（4-x+4-2x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
即y=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x，
则当x=$\frac{4}{3}$时，最大值是：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（m²）．
故选D．

点评 本题考查等腰梯形的计算和二次函数等知识，考查求函数的解析式和求函数的最值问题，求最值的问题常用的方法是转化为函数的问题求解．