Question

已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、①②④
• D、①②③④

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即③正确，根据③可求得④正确．

解答：解：
①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBC中，

BD=BC ∠ABD=∠CBD BE=BA

，
∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°           …②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC．…③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，

∵E是BD上的点，∴EF=EG，
∵在RT△BEG和RT△BEF中，

BE=BE EF=EG

，
∴RT△BEG≌RT△BEF（HL），
∴BG=BF，
∵在RT△CEG和RT△AFE中，

EF=EG AE=CE

，
∴RT△CEG≌RT△AFE（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF．…④正确．
故选D．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．