Question

如图①，A，B，C三点在一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G．

（1）判断AE=DC，BF=BG是否成立，并说明理由；
（2）如图②，若A，B，C不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明；
（3）判断△BFG的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）易证△ABE≌△DBC，可得∠BDC=∠BAE，AE=DC，可证△BAF≌△BDG，可得BF=BG；
（2）AE=DC，但BF≠BG．
（3）根据等边三角形判定方法判定．

解答：解：（1）∵△ABD、△BCE都是等边三角形
∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△DBC中，

AB=BD ∠ABE=∠CBE BE=EC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC．∠BDC=∠BAE 
在△BAF和△BDG中，

∠BDC=∠BAE AB=DB ∠ABF=∠DBG

，
∴△BAF≌△BDG（ASA），
∴BF=BG．
（2）AE=DC，但BF≠BG．
理由①AE=DC．
∵△ABD和等边△BCE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△DBC中，

AB=BD ∠ABE=∠CBE BE=EC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴AE=DC（全等三角形对应边相等），
∠BAE=∠BDC（全等三角形对应角相等）．
②BF≠BG．
理由：若BG=BF，由（1）可知△ABE≌△DBC，
∴∠BAF=∠BDG，
又AB=DB
则△ABF与△DBG有两边和一边的对角对应相等．
∴∠ABF=∠DBG或∠ABG+∠DBG=180°（不合题意，舍去）
∴△ABF≌△DBG（SAS）．
∴∠ABF=∠DBG=60°（全等三角形对应角相等）．
∴∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，
所以A、B、C在同一条直线上，这与题意A、B、C不在同一直线上矛盾，
∴BF≠BG．
（3）∵BF=BG，∠FBG=60°
∴∠BFG=∠BGF=∠FBG=60°
∴△BFG为等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；证明线段不相等是比较独特的，要注意掌握．