Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，分别以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接DE，交AB于点F，求证：DF=EF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：作EG⊥AC交AB于G，连接DG可得EG=AB进而可以证明AD平行且等于EG则有四边形AEGD为平行四边形AG和DE分别是对角线，且相交于F平行四边形对角线互相平分，所以有EF=FD得证．

解答：证明：作DG⊥AB于点G，．
则∠FGB=∠DGB=90°，
所以∠DGB=∠ACB=90°，
∵△ABD为等边三角形，
∴∠GBD=60°=∠CBA，
在△DBG和△ABC中，

∠DGB=∠ACB ∠GBD=∠CBA BD=AB

，
∴△DBG≌△ABC（AAS），
∴DG=AC，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠EAC=60°，AC=AE，
∴DG=AE，
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=90°=∠DGF，
在△AEF和△GDF中，

∠DFG=∠EFA FG=FG ∠BAE=∠DGF

，
∴△AEF≌△GDF（ASA）
∴EF=DF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△GDF是解题的关键．