Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=

 

，b=

 

 

，顶点C的坐标为

 

；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△BCD是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥BC于点Q，当△PCQ与△BCH相似时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax²+bx+3，即可得出a，b的值，利用抛物线的解析式可得出顶点C的坐标，
（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．由∠CDB=90°可得△CED∽△DOB，利用CE：DE=OD：OB，设D（0，c）即可求出点D的坐标，
（3）分两种情况）①若点P在对称轴左侧，只能是△PCQ∽△CBH，②若点P在对称轴右侧，只能是△PCQ∽△BCH，分别求解即可．

解答：解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax²+bx+3，
得

0=a-b+3 0=9a+3b+3

，解得

a=-1 b=2

∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3
∴顶点C的坐标为（1，4），
故答案为：a=-1，b=2，（1，4）
（2）如图1，假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．

∵∠CDB=90°得△CED∽△DOB，
∴CE：DE=OD：OB．
设D（0，c），则

1

4-c

=

c

3

．化简得c²-4c+3=0，解得c₁=3，c₂=1．
∴在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
（3）①如图2，若点P在对称轴左侧，只能是△PCQ∽△CBH，得∠QCP=∠CBH．延长CP交x轴于M，

∴BM=CM，
∴BM²=CM²．
设OM=m，则（m+3）²=4²+（m+1）²，
∴m=2，即M（-2，0）．
则直线CM的解析式为y=

4

3

x+

8

3

，联立方程组

y= 4 3 x+ 8 3 y=-x2+2x+3

解得P（-

1

3

，

20

9

），
②如图3，若点P在对称轴右侧，只能是△PCQ∽△BCH，得∠PCQ=∠BCH．过B作CB的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N，

∵CH=4，BH=2，
∴BC=2

5

，
∵△CFB∽△CBH，
∴BC：HC=BF：BH，即2

5

：4=BF：2，解得BF=

5

，
又∵△FNB∽△BHC，
∴BN：CH=BF：CB，即BN：4=

5

：2

5

，
得BN=2，同理得FN=1，
∴点F的坐标为（5，1），则直线CF的解析式为y=-

3

4

x+

19

4

，
联立方程组

y=- 3 4 x+ 19 4 y=-x2+2x+3

可得P（

7

4

，

55

16

）
所以满足条件的点P的坐标为（-

1

3

，

20

9

），（

7

4

，

55

16

）．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．