Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下结论：
①abc＞0；②2a-b=0；③b²-4ac＜0；④4a-2b+c＞0；⑤c-a＞1
其中所有正确结论的序号是（　　）

• A、①②④
• B、①③④
• C、②③⑤
• D、①②④⑤

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴b=2a＜0，可对②进行判断；
利用抛物线与y轴的交点坐标得到c＞0，则可对①进行判断；
根据抛物线与x轴有2个交点可对③进行判断；
根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（（-3，0）与（-2，0）之间，则x=-2时，y＞0，于是可对④进行判断；
利用c=1，a＜0可对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a＜0，即2a-b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的另一个交点在（-3，0）与（-2，0）之间，
∴x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0，所以④正确；
∵c=1，a＜0，
∴c-a=1-a＞1，所以⑤正确．
故选D．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．