Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发，以1cm/s的速度沿着矩形的边逆时针匀速运动；同时，动点N从D点出发，以2cm/s的速度沿着矩形的边逆时针匀速运动．N、M第一次重合时停止运动．设运动时间为t秒，问：
（1）当t=

 

时，N、M第一次重合并停止运动．
（2）当N在AD上，M在AB上，求△AMN的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

时的t值．
（3）求出AC⊥MN时的t值．
（4）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）设运动时间为t秒，则N运动的路程是2tcm，M运动的路程是tcm，根据当N、M第一次重合时，得出2t-t=6，再求出t的值即可，
（2）当N在AD上，M在AB上时，根据△AMN的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

，得出

1

6

（6-2t）t=

1

9

×6×3，再解方程即可，
（3）当AC⊥MN时，可证出△MNA∽△ACD，得出

AM

AN

=

DA

DC

，

t

6-2t

=

6

3

，再解方程即可，
（4）当N在AD上，M在AB上时，若根据（3）可得t=

12

5

，若△NMA∽△ACD，则

NA

AD

=

MA

CD

，

6-2t

6

=

t

3

，当N在AB上，M在BC上时，若△BMN∽△DAC，则

BN

DC

=

BM

DA

，

9-2t

3

=

9-t

6

，再分别求出t的值即可．

解答：解：（1）∵动点M从A点出发，以1cm/s的速度沿着矩形的边逆时针匀速运动；同时，动点N从D点出发，以2cm/s的速度沿着矩形的边逆时针匀速运动，
∴设运动时间为t秒，则N运动的路程是2tcm，M运动的路程是tcm，
∴当N、M第一次重合时，2t-t=6，
t=6，
故答案为：6；

（2）当N在AD上，M在AB上时，AN=（6-2t）cm，AM=tcm，
则

1

6

（6-2t）t=

1

9

×6×3，
解得：t₁=1，t₂=2，
当N在AD上，M在AB上，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

时t=1或2；

（3）如图1，当AC⊥MN时，
则∠MNA=∠ACD，
∵∠CDA=∠MAN，
∴△MNA∽△ACD，
∴

AM

AN

=

DA

DC

，
∴

t

6-2t

=

6

3

，
t=

12

5

；

（4）当N在AD上，M在AB上时，若根据（3）可得若△MNA∽△ACD，t=

12

5

，
如图2，若△NMA∽△ACD，则

NA

AD

=

MA

CD

，

6-2t

6

=

t

3

，
t=

3

2

，
如图3，当N在AB上，M在BC上时，若△BMN∽△DAC，则

BN

DC

=

BM

DA

，

9-2t

3

=

9-t

6

，
t=

9

2

．
答：存在时刻t使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，所有符合条件的t是

3

2

或

12

5

或

9

2

．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是综合运用有关性质列出关于t的方程，注意分三种情况讨论．