Question

如图所示，CF、BE是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，
（1）试说明AP与AQ的关系；
（2）题中的△ABC改为钝角三角形，其它条件不变，上述结论还正确吗？请画图并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）根据题干给出条件可以求得∠ABE=∠ACQ，可证△ACQ≌△PBA，可得AP=AQ；
（2）按照题意作出图形，可以求得∠ABE=∠ACQ，可证△ACQ≌△PBA，可得AP=AQ；

解答：解：（1）∵CF、BE是△ABC的高，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ACQ+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠ACQ，
∵在△ACQ和△PBA中

BP=AC ∠ABE=∠ACQ CQ=AB

，
∴△ACQ≌△PBA，（SAS）
∴AP=AQ，∠Q=∠BAP，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠BAP+∠QAB=90°，
∴AP⊥AQ；
（2）

∵CF、BE是△ABC的高，∠ABE+∠AEB=∠BAC，∠ACQ+∠AFC=90°，
∴∠ABE=∠ACQ，
∵在△ACQ和△PBA中

BP=AC ∠ABE=∠ACQ CQ=AB

，
∴△ACQ≌△PBA，（SAS）
∴AP=AQ，∠P=∠CAQ，
∵∠P+∠PAE=90°，
∴∠CAQ+∠PAE=90°，
∴∠PAQ=90°，
∴PA⊥AQ．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACQ≌△PBA是解题的关键．