Question

7．水坝的横截面为梯形ABCD，迎水坡AD的坡角为30°，背水坡BC的坡度为1：1，坝顶宽AB为4m，坝高为6m
（1）求坝底宽CD；
（2）若不改变水坝的坡度和坝底宽CD，而要用土将这段长度为1000m的堤坝加高0.5m，需要多少土（精确到1m³）

Answer 1

分析 （1）首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度=1：1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解，
（2）过M、N作ME⊥CD、NF⊥CD，可得四边形，MEFN是矩形，又由背水坡的坡度=1：1，迎水坡的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求得MN，从而求得增加的土方．

解答 解：（1）如图1，分别过B、A作BE⊥CD、AF⊥CD，垂足为E、F，
可得：BE∥AF，
又∵AB∥CD，
∴AB=EF BE=AF
由题意，得EF=AB=4m，BE=AF=6m，
∵背水坡BC的坡度为1：1，
∴∠BCE=45°，
∴CE=BE×cot45°=6×1=6，
DF=AF•cot30°=6×$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∴CD=CE+EF+DF=6+4+6$\sqrt{3}$=10+6$\sqrt{3}$
答：坝底CD的长度为（10+6$\sqrt{3}$）m．
（2）如图2，分别过M、N作ME⊥CD、NF⊥CD，垂足为E、F，
可得：ME∥NF，
又∵MN∥CD，
∴MN=EF ME=NF
由题意，得ME=NF=6.5m，
∵背水坡MC的坡度为1：1，
∴∠BCE=45°，
∴CE=ME×cot45°=6.5×1=6.5，
DF=NF•cot30°=6.5×$\sqrt{3}$=$\frac{13}{2}$$\sqrt{3}$，
∵CD=10+6$\sqrt{3}$，
∴MN=EF=10+6$\sqrt{3}$-6.5-$\frac{13}{2}$$\sqrt{3}$=3.5-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$，
∴堤坝加高0.5米需要增加土方为：$\frac{1}{2}$（3.5-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$+4）×0.5×1000=$\frac{1}{8}$（$\sqrt{3}$+1）≈337方．
答：堤坝加高0.5米需要增加土方337方．

点评 此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．