Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，则下列结论，其中正确的结论有（　　）

①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BEEF＝108．

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根据折叠的性质∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，从而证明BE⊥CG可得BE∥PG,推出∠BPF＝∠BFP,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE≌△DCE;③先根据题意证明△ABE∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin值;⑤连接FG,先证明BPGF是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE·EF．

①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，

∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，

∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，

∵BE⊥CG，

∴BE∥PG，

∴∠GPF＝∠PFB，

∴∠BPF＝∠BFP，

∴BP＝BF；

故①正确；

②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，

∵E是AD中点，

∴AE＝DE，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE(SAS)；

故②正确；

③当AD＝25时，

∵∠BEC＝90°，

∴∠AEB+∠CED＝90°，

∵∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠CED＝∠ABE，

∵∠A＝∠D＝90°，

∴△ABE∽△DEC，

∴，

设AE＝x，

∴DE＝25﹣x，

∴，

∴x＝9或x＝16，

∵AE＜DE，

∴AE＝9，DE＝16；

故③正确；

④由③知：CE＝，BE＝，

由折叠得，BP＝PG，

∴BP＝BF＝PG，

∵BE∥PG，

∴△ECF∽△GCP，

∴，

设BP＝BF＝PG＝y，

∴，

∴y＝，

∴BP＝，

在Rt△PBC中，PC＝，

∴sin∠PCB＝；

故④不正确；

⑤如图，连接FG，

由①知BF∥PG，

∵BF＝PG＝PB，

∴BPGF是菱形，

∴BP∥GF，FG＝PB＝9，

∴∠GFE＝∠ABE，

∴△GEF∽△EAB，

∴，

∴BEEF＝ABGF＝12×9＝108；

故⑤正确，

所以本题正确的有①②③⑤，4个，

故选：C．