【题目】(本题满分10分)在ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连结EG、GF、FH、HE.
(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;
(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是 ;
(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是 ;
(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
【答案】(1)平行四边形(2)菱形(3)菱形(4)正方形
【解析】
试题(1)由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心,即可得出OE=OF、OG=OH;根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的形状;
(2)当EF⊥GH时,平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分,故四边形EGFH是菱形;
(3)当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响,故结论同(2);
(4)当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形,则对角线相等且互相垂直平分;
可通过证△BOG≌△COF,得OG=OF,从而证得菱形的对角线相等,根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状.
试题解析:解:(1)四边形EGFH是平行四边形.
证明:∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O.
∴点O是ABCD的对称中心.
∴EO=FO,GO=HO.
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)菱形.
(3)菱形.
(4)四边形EGFH是正方形.
∵AC=BD,
∴ABCD是矩形.
又∵AC⊥BD,
∴ABCD是菱形.
∴ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°.OB=OC.
∵EF⊥GH ,
∴∠GOF=90°.
∴∠BOG=∠COF.
∴△BOG≌△COF.
∴OG=OF,
∴GH=EF.
由(1)知四边形EGFH是平行四边形,
又∵EF⊥GH,EF=GH.
∴四边形EGFH是正方形.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2,BE=CE,MN=1,线段MN的两端点在CD、AD上滑动,当DM为( )时,△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.
A.
B.
C. 或
D. 或
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【题目】如图,DE是△ABC边AB的垂直平分线,分别交AB、BC于D、E。AE平分∠BAC. 设∠B = x(单位:度),∠C = y(单位:度).
(1)求y随x变化的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)请讨论当△ABC为等腰三角形时,∠B为多少度?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,沿着箭头所示方向,每次移动一个单位,依次得到点P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(1,1),P5(2,1),P6(2,0)...,则点P2017的坐标是( )
A.(672,0)B.(672,1)C.(673,1)D.(673,0)
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【题目】如图,大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚E处,然后向大楼方向继续行走10米来到C处,测得条幅的底部B的仰角为45°,此时小颖距大楼底端N处20米.已知坡面DE=20米,山坡的坡度i=1: (即tan∠DEM=1:
),且D,M,E,C,N,B,A在同一平面内,E,C,N在同一条直线上,求条幅的长度(结果精确到1米)(参考数据:
≈1.73,
≈1.41)
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【题目】探索研究:已知:△ABC和△CDE都是等边三角形.
(1)如图1,若点A、C、E在一条直线上时,我们可以得到结论:线段AD与BE的数量关系为: ,线段AD与BE所成的锐角度数为 °;
(2)如图2,当点A、C、E不在一条直线上时,请证明(1)中的结论仍然成立;
灵活运用:
如图3,某广场是一个四边形区域ABCD,现测得:AB=60m,BC=80m,且∠ABC=30°,∠DAC=∠DCA=60°,试求水池两旁B、D两点之间的距离.
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【题目】邮递员骑摩托车从邮局出发,先向南骑行2km到达A村,继续向南骑行3km到达B 村,然后向北骑行9km到C村,最后回到邮局.
(1)以邮局为原点,以向北方向为正方向,用1个单位长度表示1km,请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置;
(2)C村离A村有多远?
(3)若摩托车每100km耗油3升,这趟路共耗油多少升?
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【题目】某商店进行店庆活动,决定购进甲、乙两种纪念品,若购进甲种纪念品1件,乙种纪念品2件,需要160元;购进甲种纪念品2件,乙种纪念品3件,需要280元.
(1)购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元?
(2)该商场决定购进甲乙两种纪念品100件,并且考虑市场需求和资金周转,用于购买这些纪念品的资金不少于6300元,同时又不能超过6430元,则该商场共有几种进货方案?
(3)若销售每件甲种纪念品可获利30元,每件乙种纪念品可获利12元,在第(2)问中的各种进货方案中,哪种方案获利最大?最大利润是多少元?
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