Question

12．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：AD=OC；
（2）求证：OE是CD的垂直平分线；
（3）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质和HL证明Rt△ODE≌Rt△OCE进行解答即可；
（2）△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，利用垂直平分线的性质的逆定理，即可得出OE是CD的垂直平分线；
（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论

解答 证明：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，
∴DE=CE，∠EOD=∠EOC，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC；
（2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，ED=EC，
∴点O、点E在线段CD的垂直平分线上，
∴OE是CD的垂直平分线；
（3）OE=4EF．
∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．

点评 本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．