【题目】如图,已知抛物线与
轴、
轴分别相交于点A(-1,0)和B(0,3),其顶点为D.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若抛物线与轴的另一个交点为E,求△ODE的面积;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短.若存在请求出点P的坐标,若不存在说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)S△ODE=6;(3)点P坐标(1,2).
【解析】
(1)将A(-1,0)、B(0,3)分别代入y=-x2+bx+c,解方程组求得b、c的值,即可求得抛物线的解析式;(2)先求得点D、点E的坐标,再根据三角形的面积公式即可求解;(3)连接BE交直线x=1于点P,此时PA+PB的值最小,由此求得点P的坐标即可.
(1)解:根据题意得,解得
,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3
(2)解:当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,则E(3,0);
∵抛物线y=﹣(x﹣1)2 + 4的顶点坐标D(1,4),
∴S△ODE=×3×4=6;
(3)连接BE交直线x=1于点P,如图,
由对称性知PA=PE,
∴PA+PB=PE+PB=BE,
此时PA+PB的值最小,
求得直线BE的解析式为 y=﹣x+3
当x=1时,y=﹣x+3=3,
∴点P坐标(1,2).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,投影线方向如图所示,点C在斜边AB上的正投影为点D,
(1)试写出边AC、BC在AB上的投影;
(2)试探究线段AC、AB和AD之间的关系;
(3)线段BC、AB和BD之间也有类似的关系吗?请直接写出结论.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,过点C的直线MN∥AB,D为AB上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)当点D是AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(2)在(1)的条件下,当∠A等于多少度时,四边形BECD是正方形?
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴正半轴、y轴的负半轴上,二次函数y=(xh)2+k的图象经过B、C两点.
(1)求该二次函数的顶点坐标;
(2)结合函数的图象探索:当y>0时x的取值范围;
(3)设m<,且A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在该函数图象上,试比较y1、y2的大小,并简要说明理由.
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【题目】在等边△AOB中,将扇形COD按图1摆放,使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合,OA=OB=2,OC=OD=1,固定等边△AOB不动,让扇形COD绕点O逆时针旋转,线段AC、BD也随之变化,设旋转角为α.(0<α≤360°)
(1)当OC∥AB时,旋转角α= 度;
发现:(2)线段AC与BD有何数量关系,请仅就图2给出证明.
应用:(3)当A、C、D三点共线时,求BD的长.
拓展:(4)P是线段AB上任意一点,在扇形COD的旋转过程中,请直接写出线段PC的最大值与最小值.
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【题目】有两个信封,每个信封内各装有四张完全相同的卡片,其中一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4四个数,另一个信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8四个数.甲,乙两人商定了一个游戏,规则是:从这两个信封中各随机抽取一张卡片,然后把卡片上的两个数相乘,如果得到的积大于16,则甲获胜,否则乙获胜.
(1)请你通过列表(或画树状图)计算甲获胜的概率;
(2)你认为这个游戏公平吗?为什么?
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【题目】已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是⊙O的弦,∠AEC=30°.
(1)求证:直线AD是⊙O的切线;
(2)若AE⊥BC,垂足为M,⊙O的半径为4,求AE的长.
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【题目】如图,OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为( )
A. B.
C. ﹣2 D.
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