【题目】在等边△AOB中,将扇形COD按图1摆放,使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合,OA=OB=2,OC=OD=1,固定等边△AOB不动,让扇形COD绕点O逆时针旋转,线段AC、BD也随之变化,设旋转角为α.(0<α≤360°)
(1)当OC∥AB时,旋转角α= 度;
发现:(2)线段AC与BD有何数量关系,请仅就图2给出证明.
应用:(3)当A、C、D三点共线时,求BD的长.
拓展:(4)P是线段AB上任意一点,在扇形COD的旋转过程中,请直接写出线段PC的最大值与最小值.
【答案】(1)60或240;(2) AC=BD,理由见解析;(3)或;(4)PC的最大值=3,PC的最小值=﹣1.
【解析】分析:(1)如图1中,易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时,OC∥AB,此时旋转角α=60°或240°.
(2)结论:AC=BD.只要证明△AOC≌△BOD即可.
(3)在图3、图4中,分别求解即可.
(4)如图5中,由题意,点C在以O为圆心,1为半径的⊙O上运动,过点O作OH⊥AB于H,直线OH交⊙O于C′、C″,线段CB的长即为PC的最大值,线段C″H的长即为PC的最小值.易知PC的最大值=3,PC的最小值=﹣1.
详解:(1)如图1中,∵△ABC是等边三角形,∴∠AOB=∠COD=60°,∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时,OC∥AB,此时旋转角α=60°或240°.
故答案为:60或240;
(2)结论:AC=BD,理由如下:
如图2中,∵∠COD=∠AOB=60°,∴∠COA=∠DOB.在△AOC和△BOD中,,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD;
(3)①如图3中,当A、C、D共线时,作OH⊥AC于H.
在Rt△COH中,∵OC=1,∠COH=30°,∴CH=HD=,OH=.在Rt△AOH中,AH==,∴BD=AC=CH+AH=.
如图4中,当A、C、D共线时,作OH⊥AC于H.
易知AC=BD=AH﹣CH=.
综上所述:当A、C、D三点共线时,BD的长为或;
(4)如图5中,由题意,点C在以O为圆心,1为半径的⊙O上运动,过点O作OH⊥AB于H,直线OH交⊙O于C′、C″,线段CB的长即为PC的最大值,线段C″H的长即为PC的最小值.易知PC的最大值=3,PC的最小值=﹣1.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,点F是AB的中点, AD与FE、BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有下列结论:①FD=FE;② AH=2BD; ③AD·BC=AE·AB; ④2CD2=EH2.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A、B两点,与x轴交于点C,过点A作AH⊥x轴于点H,点O是线段CH的中点,AC=4,cos∠ACH=,点B的坐标为(4,n).
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△BCH的面积.
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
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【题目】某段笔直的限速公路上,规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h(即m/s),交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A,在如图所示的坐标系中,A位于y轴上,测速路段BC在x轴上,点B在A的北偏西60°方向上,点C在点A的北偏东45°方向上.
(1)在图中直接标出表示60°和45°的角;
(2)写出点B、点C坐标;
(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s.请你通过计算,判断该汽车在这段限速路上是否超速?(本小问中取1.7)
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【题目】已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度,点A在原点的左侧,到原点的距离为26个单位长度,点B在点A的右侧,点C表示的数与点B表示的数互为相反数,动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动,设移动时间为t秒.
(1)点A表示的数为________,点B表示的数为__________,点C表示的数为__________.
(2)当点P运动到B点时,点Q从A点出发,以每秒点3个单位的速度向C点运动,Q点到达C点后,再立即以同样的速度返回,运动到终点A.
①在点Q向点C运动过程中,能否追上点P?若能,请求出点Q运动几秒追上.
②在点Q开始运动后,P、Q两点之间的距离能否为2个单位?如果能,请求出此时点P表示的数;如果不能,请说明理由.
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【题目】甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别绘制成下列两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成绩(环) | 中位数(环) | 众数(环) | 方差 | |
甲 | a | 7 | 7 | 1.2 |
乙 | 7 | b | 8 | c |
(1)写出表格中a,b,c的值;
(2)分别运用表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击成绩,若选派其中一名参赛,你认为应选哪名队员?
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【题目】将7张相同的小长方形纸片(如图1所示)按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内,未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形,面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a,宽为b,且a>b.
⑴当a=9,b=3,AD=30时,长方形ABCD的面积是 ,S1﹣S2的值为 .
⑵当AD=40时,请用含a、b的式子表示S1﹣S2的值;
⑶若AB长度为定值,AD变长,将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内,而S1﹣S2的值总保持不变,则a、b满足的什么关系?
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,将△ABC沿对角线AC折叠,点B的对应点落在点E处,且点B,A,E在一条直线上,CE交AD于点F,则图中等边三角形共有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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