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【题目】已知四边形的内接四边形,直径与对角线相交于点,作与过点的直线相交于点.

1)求证:的切线;

2)若平分,求证:

3)在(2)的条件下,的中点,连接,若的半径为,求的长.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)

【解析】

1)根据直径所对的圆周角为90°,得到∠ADC=90°,根据直角三角形两锐角互余得到∠DAC+DCA=90°,再根据同弧或等弧所对的圆周角相等,可得到∠FAD+DAC=90°,即可得出结论;

2)连接OD.根据圆周角定理和角平分线定义可得∠DOA=DOC,即可得出结论;

3)连接ODCFM,作EPADP.可求出AD=4AFOM.根据三角形中位线定理得出OM=AF.证明△ODE≌△OCM,得到OE=OM.设OM=m,用m表示出OEAEAPDP.通过证明△EAN∽△DPE,根据相似三角形对应边成比例,求出m的值,从而求得ANAE的值.在RtNAE中,由勾股定理即可得出结论.

1)∵AC为⊙O的直径,

∴∠ADC=90°,

∴∠DAC+DCA=90°.

∴∠ABD=DCA

∵∠FAD=ABD

∴∠FAD=DCA

∴∠FAD+DAC=90°,

CAAF

AF为⊙O的切线.

2)连接OD

∴∠ABD=AOD

∴∠DBC=DOC

BD平分∠ABC

∴∠ABD=DBC

∴∠DOA=DOC

DA=DC

3)连接ODCFM,作EPADP

AC为⊙O的直径,

∴∠ADC=90°.

DA=DC

DOAC

∴∠FAC=DOC=90°,AD=DC==4

∴∠DAC=DCA=45°,AFOM

AO=OC

OM=AF

∵∠ODE+DEO=90°,∠OCM+DEO=90°,

∴∠ODE=OCM

∵∠DOE=COMOD=OC

∴△ODE≌△OCM

OE=OM

OM=m

OE=m

∵∠AED+AEN=135°,∠AED+ADE=135°,

∴∠AEN=ADE

∵∠EAN=DPE

∴△EAN∽△DPE

由勾股定理得:

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