【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部,将半圆O绕点A顺时针旋转a度(0°≤a≤180°).
(1)在旋转过程中,B′C的最小值是 ,如图2,当半圆O的直径落在对角线AC上时,设半圆O与AB的交点为M,则AM的长为
(2)如图3,当半圆O与直线CD相切时,切点为N,与线段AD的交点为P,求劣弧AP的长;
(3)在旋转过程中,当半圆弧与直线CD只有一个交点时,设此交点与点C的距离为d,请直接写出d的取值范围.
【答案】(1)1,;(2)AP的长=;(3)4﹣≤d<4或d=4+.
【解析】
(1)连接B′M,则∠B′MA=90°,在Rt△ABC中,利用勾股定理可求出AC的长度,由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′,根据相似三角形的性质可求出AM的长度;
(2)连接OP、ON,过点O作OG⊥AD于点G,则四边形DGON为矩形,进而可得出DG、AG的长度,在Rt△AGO中,由AO=2、AG=1可得出∠OAG=60°,进而可得出△AOP为等边三角形,再利用弧长公式即可求出劣弧AP的长;
(3)由(2)可知:△AOP为等边三角形,根据等边三角形的性质可求出OG、DN的长度,进而可得出CN的长度,画出点B′在直线CD上的图形,在Rt△AB′D中(点B′在点D左边),利用勾股定理可求出B′D的长度进而可得出CB′的长度,再结合图形即可得出:半圆弧与直线CD只有一个交点时d的取值范围.
解:(1)∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,
∴AC=5,
在旋转过程中,当点B′落在对角线AC上时,B′C的值最小,最小值为1;
在图2中,连接B′M,则∠B′MA=90°.
在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,
∴AC=5.
∵∠B=∠B′MA=90°,∠BCA=∠MAB′,
∴△ABC∽△AMB′,
∴,即,
∴AM=;
故答案为:1,;
(2)在图3中,连接OP、ON,过点O作OG⊥AD于点G.
∵半圆与直线CD相切,
∴ON⊥DN,
∴四边形DGON为矩形,
∴DG=ON=2,
∴AG=AD﹣DG=1.
在Rt△AGO中,∠AGO=90°,AO=2,AG=1,
∴∠AOG=30°,∠OAG=60°.
又∵OA=OP,
∴△AOP为等边三角形,
∴劣弧AP的长=;
(3)由(2)可知:△AOP为等边三角形,
∴DN=GO=OA=,
∴CN=CD+DN=4+,
当点B′在直线CD上时,如图4所示.
在Rt△AB′D中(点B′在点D左边),AB′=4,AD=3,
∴B′D=,
∴CB′=4﹣,
∵AB′为直径,
∴∠ADB′=90°,
∴当点B′在点D右边时,半圆交直线CD于点D、B′.
∴当半圆弧与直线CD只有一个交点时,4﹣≤d<4或d=4+.
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(1)当每千克涨价为多少元时,每天的盈利最多?最多是多少?
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