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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB4BC3,以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部,将半圆O绕点A顺时针旋转a度(0°≤a180°).

1)在旋转过程中,BC的最小值是   ,如图2,当半圆O的直径落在对角线AC上时,设半圆OAB的交点为M,则AM的长为 

2)如图3,当半圆O与直线CD相切时,切点为N,与线段AD的交点为P,求劣弧AP的长;

3)在旋转过程中,当半圆弧与直线CD只有一个交点时,设此交点与点C的距离为d,请直接写出d的取值范围.

【答案】11;(2AP的长=;(34d4d4+.

【解析】

1)连接B′M,则∠B′MA90°,在RtABC中,利用勾股定理可求出AC的长度,由∠B=∠B′MA90°、∠BCA=∠MAB′可得出ABC∽△AMB′,根据相似三角形的性质可求出AM的长度;

2)连接OPON,过点OOGAD于点G,则四边形DGON为矩形,进而可得出DGAG的长度,在RtAGO中,由AO2AG1可得出∠OAG60°,进而可得出AOP为等边三角形,再利用弧长公式即可求出劣弧AP的长;

3)由(2)可知:AOP为等边三角形,根据等边三角形的性质可求出OGDN的长度,进而可得出CN的长度,画出点B′在直线CD上的图形,在RtAB′D中(点B′在点D左边),利用勾股定理可求出B′D的长度进而可得出CB′的长度,再结合图形即可得出:半圆弧与直线CD只有一个交点时d的取值范围.

解:(1)∵在矩形ABCD中,AB4BC3

AC5

在旋转过程中,当点B′落在对角线AC上时,B′C的值最小,最小值为1

在图2中,连接B′M,则∠B′MA90°

RtABC中,AB4BC3

AC5

∵∠B=∠B′MA90°,∠BCA=∠MAB′

∴△ABC∽△AMB′

,即

AM

故答案为:1

2)在图3中,连接OPON,过点OOGAD于点G

∵半圆与直线CD相切,

ONDN

∴四边形DGON为矩形,

DGON2

AGADDG1

RtAGO中,∠AGO90°AO2AG1

∴∠AOG30°,∠OAG60°

又∵OAOP

∴△AOP为等边三角形,

∴劣弧AP的长=

3)由(2)可知:AOP为等边三角形,

DNGOOA

CNCD+DN4+

当点B′在直线CD上时,如图4所示.

RtAB′D中(点B′在点D左边),AB′4AD3

B′D

CB′4

AB′为直径,

∴∠ADB′90°

∴当点B′在点D右边时,半圆交直线CD于点DB′

∴当半圆弧与直线CD只有一个交点时,4≤d4d4+

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