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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3经过点N(2,-5),过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M,MN=6.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)点P(x,y)为此抛物线上一动点,连接MP交此抛物线的对称轴于点D,当△DMN为直角三角形时,求点P的坐标;

(3)设此抛物线与y轴交于点C,在此抛物线上是否存在点Q,使∠QMN=∠CNM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1) y=-x2-2x+3.(2) 点P的坐标为(1,0)或(3,-12).(3) 存在点Q,使∠QMN=∠CNM,点Q的坐标为(-2,3)或(6,-45).

【解析】

试题分析:(1)根据MN平行x轴,MN=6,点N坐标为(2,-5),可得出点M的坐标,然后利用待定系数法求解函数解析式即可;

(2)设抛物线的对称轴x=-1交MN于点G,此时抛物线的对称轴是MN的中垂线,根据△DMN为直角三角形,可得出D1及D2的坐标,分别求出MD1及MD2的函数解析式,结合抛物线可得出点P的坐标;

(3)分两种情况进行讨论,①点Q在MN上方,②点Q在MN下方,然后根据两角相等,利用三角函数建立方程,解出x的值后检验即可得出答案.

试题解析:(1)由题意得,MN平行x轴,MN=6,点N坐标为(2,-5),

故可得点M坐标为(-4,-5),

y=ax2+bx+3过点M(-4,-5)、N(2,-5),

可得

解得:

故此抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.

(2)设抛物线的对称轴x=-1交MN于点G,

若△DMN为直角三角形,则

可得D1(-1,-2),D2(-1,-8),

从而可求得直线MD1解析式为;y=x-1,直线MD2解析式为:y=-x-9,

将P(x,-x2-2x+3)分别代入直线MD1,MD2的解析式,

得-x2-2x+3=x-1①,-x2-2x+3=-x-9②、

解①得 x1=1,x2=-4(舍),

即P1(1,0);

解②得 x3=3,x4=-4(舍),

即P2(3,-12);

故当△DMN为直角三角形时,点P的坐标为(1,0)或(3,-12).

(3)设存在点Q(x,-x2-2x+3),使得∠QMN=∠CNM,

①若点Q在MN上方,过点Q作QH⊥MN,交MN于点H,

则QH=-x2-2x+3+5,MH=(x+4)、

,即-x2-2x+3+5=4(x+4)、

解得x1=-2,x2=-4(舍),

故可得点Q1(-2,3);

②若点Q在MN下方,

同理可得Q2(6,-45).

综上可得存在点Q,使∠QMN=∠CNM,点Q的坐标为(-2,3)或(6,-45).

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