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【题目】如图在Rt△ABC中,∠C90°,点DAC的中点,且∠A∠CDB90°,过点AD⊙O,使圆心OAB上,⊙OAB交于点E.

1)求证:直线BD⊙O相切;

2)若ADAE45BC6,求⊙O的直径.

【答案】解:(1)证明:连接OD

∵OA=OD

∴∠A=∠ADO

∵∠A+∠CDB=90°

∴∠ADO+∠CDB=90°

∴∠ODB=180°﹣∠ADO+∠CDB=90°

∴BD⊥OD

∴BD⊙O切线;

2)连接DE

∵AE是直径,

∴∠ADE=90°

∵∠C=90°

∴∠ADE=∠C

∴DE∥BC

∵DAC中点,

∴AD=CD

∴ADCD=AEBE

∴AE=BE

∵DE∥BC

∴△ADE∽△ACB

∴ADAE=ACAB

∴ACAB=45

AC=4xAB=5x,那么BC=3x

∴BCAB=35

∵BC=6

∴AB=10

∴AE=AB=10

【解析】试题分析:(1)、连接OD,根据△AOD为等腰三角形可得∠A=∠ODA,根据∠A+∠CDB=90°可得∠ODA+∠CDB=90°,从而得出∠BDO=90°;(2)、连接OE,根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADE=90°,根据D为中点可得EAB的中点,根据△ADE△ACB相似可得ACAB=4:5,然后求出BC的长度,从而得出直径的长度.

试题解析:(1)、连接OD,在△AOD中,OAOD∴∠A∠ODA

∵∠A∠CDB90° ∴∠ODA∠CDB90°∴∠BDO180°90°90°,即OD⊥BD

∴BD⊙O相切.

2)、连接DE∵AE⊙O的直径, ∴∠ADE90°∴DE∥BC.

∵DAC的中点,∴AEBE. ∴△AED∽△ABC.

∴AC∶ABAD∶AE. ∵ADAE=4:5 ∴AC∶AB4∶5

AC4xAB5x,则BC3x. ∵BC6∴AB10

∴AE5∴⊙O的直径为5.

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②∠AOB+COD=90°;
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A①②③

B①②④

C①③④

D②③④

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