Question

16．课本1.4有这样一道例题：
问题4：用一根长22cm的铁丝：
（1）能否围成面积是30cm²的矩形？
（2）能否围成面积是32cm²的矩形？
据此，一位同学提出问题：“用这根长22cm的铁丝能否围成面积最大的矩形？若能围成，求出面积最大值；若不能围成，请说明理由．”请你完成该同学提出的问题．

Answer 1

分析 （1）设当矩形的一边长为x cm时，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可；（2）同（1）列出方程，由判别式＜0，即可得出结果；
提出问题：设当矩形的一边长为x cm时，面积为y cm²．由矩形的面积公式和配方法得出y=-x²+11x=-（x-$\frac{11}{2}$）²+$\frac{121}{4}$，由偶次方的性质，即可得出结果．

解答 解：（1）设当矩形的一边长为x cm时，
根据题意得：x•（11-x）=30，
整理得：x²-11x+30=0，
解得：x=5，或x=6，
当x=5时，11-x=6；
当x=6时，11-x=5；
即能围成面积是30cm²的矩形，此时长和宽分别为5cm、6cm；
（2）根据题意得：x•（11-x）=32，
整理得：x²-11x+32=0，
∵△=（-11）²-4×1×32＜0，
方程无解，因此不能围成面积是32cm²的矩形；
提出问题：能围成；理由如下：
设当矩形的一边长为x cm时，面积为y cm²．
由题意得：y=x•（$\frac{22}{2}$-x）=-x²+11x=-（x-$\frac{11}{2}$）²+$\frac{121}{4}$，
∵（x-$\frac{11}{2}$）²≥0，
∴-（x-$\frac{11}{2}$）²+$\frac{121}{4}$≤$\frac{121}{4}$．
∴当x=$\frac{11}{2}$时，y有最大值=$\frac{121}{4}$，此时$\frac{22}{2}$-x=$\frac{11}{2}$．
答：当矩形的各边长均为$\frac{11}{2}$ cm时，围成的面积最大，最大面积是$\frac{121}{4}$cm²．

点评 本题考查了配方法的应用、偶次方的性质、列一元二次方程解应用题的方法、判别式的应用；熟练掌握配方法和偶次方的非负性质是解决问题的关键．