Question

4．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：①若∠A=25°，∠D=35°，则∠AED等于60度．
②若∠A=35°，∠D=45°，则∠AED等于80度．
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（直接写出结论，不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）①过点E作EF∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；
②③根据①的过程可得出结论；
（2）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可得出结论．

解答 解：（1）①过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=25°，∠D=35°，
∴∠1=∠A=25°，∠2=∠D=35°，
∴∠AED=∠1+∠2=60°；
②过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=35°，∠D=45°，
∴∠1=∠A=35°，∠2=∠D=45°，
∴∠AED=∠1+∠2=80°；
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．
理由：过点E作EF∥CD，
∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．
（2）如图2，当点P在①区域时，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-（∠PEB+∠PFC）；
当点P在区域②时，如图3所示，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．
故答案为：（1）①60，②80．

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．