Question

【题目】若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得=n，即a=bn，例如：若整数a能被整数7整除，则一定存在整数n，使得=n，即a=7n．

（1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字1078分解为8和107，107﹣8×2=91，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，请你证明任意一个三位数都满足上述规律．

（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的k（k为正整数，1≤k≤15）倍，所得之和能被13整除，求当k为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据题意设﹣2c=10a+b能被7整除，再假设﹣2c=7n（ n为自然数 ），则10n+b=7n，进而表示出，即可得出答案；

（2）首先设m+kn=13a，10m+n=13b，则原多位数为10m+n，进而得出b与a，k的关系，进而得出答案．

解：（1）设任意一个三位数为（均为自然数且），

依题意假设 ﹣2c=10a+b能被7整除，

不妨设﹣2c=7n（ n为自然数 ），则10n+b=7n，

=100a+10b+c=10（10a+b）+c=10（7n+2c）+c=7（10n+3c），

所以 能被7整除；

（2）以下出现的字母均为自然数，设个位之前及个位数分别为m、n，

依题意不妨设m+kn=13a，

则原多位数为10m+n，

依题意不妨设10m+n=13b，

联立可得：b=10a﹣（10k﹣1），

则10k﹣1为13倍数，分别将 k=1、2、3、4、5…15代入可知，只有k=4 时符合条件．