Question

19．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）判断△ADC的形状，并说明理由；
（3）若点P是第四象限抛物线上的一点，是否存在一点P使以P、A、D、C为顶点的四边形面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形的最大面积，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据经过点A（0，-6）的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），可以求得抛物线的解析式，进而得到顶点D的坐标；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点A、D、C的坐标，从而可以求得AD、AC、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可判断△ADC的形状；
（3）先判断是否存在，然后再根据题意和题目中的数据，利用分类讨论的数学思想进行解答即可．

解答 解：（1）∵经过点A（0，-6）的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{\frac{1}{2}×（-2）^{2}+b×（-2）+c=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}（x-2）^{2}-8$，
∴顶点D的坐标为（2，-8），
即抛物线的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，顶点D的坐标为（2，-8）；
（2）△ACD的形状是直角三角形，
理由：∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
∴当y=0时，0=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
解得，x₁=-2，x₂=6，
∴点C的坐标为（6，0），
又∵点A（0，-6），点D（2，-8），
∴AC=$\sqrt{（6-0）^{2}+[0-（-6）]^{2}}=6\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{（0-2）^{2}+[（-6）-（-8）]^{2}}=2\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（6-2）^{2}+[0-（-8）]}=4\sqrt{5}$，
∵$（6\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}=（4\sqrt{5}）^{2}$，
∴△ACD是直角三角形，AC⊥AD，
即△ADC的形状是直角三角形；
（3）存在一点P使以P、A、D、C为顶点的四边形面积最大，
如右图所示，
当点P₁在AD之间时，设P₁的坐标为（a，$\frac{1}{2}$a²-2a-6），
∵AC⊥AD，AC=6$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{5}$，
∴△ACD的面积是：$\frac{AC•AD}{2}=\frac{6\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{2}=12$，
设过点A（0，-6），点D（2，-8）的直线解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{2k+b=-8}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴过点A（0，-6），点D（2，-8）的直线解析式为y=-x-6，
∴△AP₁D的面积为：$\frac{2\sqrt{2}×\frac{|a+\frac{1}{2}{a}^{2}-2a-6|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}}{2}$=|$\frac{1}{2}{a}^{2}-a-6$|，
∴${S}_{四边形A{P}_{1}DC}={S}_{△ACD}+{S}_{△A{P}_{1}D}$=12+|$\frac{1}{2}{a}^{2}-a-6$|，
∵0＜a＜2，
∴当a=1时，四边形面积取得最大值，此时四边形的面积是18.5，
当a=1时，y=$\frac{1}{2}$a²-2a-6=$\frac{1}{2}×{1}^{2}-2×1-6=-7.5$，
即P₁的坐标为（1，-7.5）；
当点P₂在DC之间时，设P₂的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-6），
∵AC⊥AD，AC=6$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{5}$，
∴△ACD的面积是：$\frac{AC•AD}{2}=\frac{6\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{2}=12$，
设过点C（6，0），点D（2，-8）的直线解析式为y=cx+d，
$\left\{\begin{array}{l}{6c+d=0}\\{2c+d=-8}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{d=-12}\end{array}\right.$，
∴过点C（6，0），点D（2，-8）的直线解析式为y=2x-12，
∴△CP₂D的面积为：$\frac{4\sqrt{5}×\frac{|2m-\frac{1}{2}{m}^{2}+2m+6-12|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}}{2}$=2|$-\frac{1}{2}{m}^{2}+4m-6$|，
∴${S}_{四边形AD{P}_{2}C}={S}_{△ADC}+{S}_{△C{P}_{2}D}$=12+2|$-\frac{1}{2}{m}^{2}+4m-6$|，
∵2＜m＜6，
∴当m=4时，四边形的面积最大，此时四边形的面积是16，
当m=4时，y=$\frac{1}{2}$m²-2m-6=-6，
即点P₂的坐标为（4，-6）；
由上可得，点P的坐标为（1，-7.5），四边形的最大面积是18.5．

点评 本题考查二次函数综合题、用待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和分类讨论的数学思想进行解答．