Question

14．二次函数图象与x轴的两交点A、B的距离为8，其顶点为C，与y轴交点的纵坐标为6，且△ABC的面积为32，求二次函数解析式．

Answer 1

分析 设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），二次函数图象与x轴的两交点A、B坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），根据二次函数图象与y轴交点的纵坐标为6得到c的值，再根据A、B的距离为8和△ABC的面积为32列出a和b的方程组，求出a和b的值，即可求出二次函数解析式．

解答 解：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
二次函数图象与x轴的两交点A、B坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），
∵二次函数图象与y轴交点的纵坐标为6，
∴c=6，
∵二次函数图象与x轴的两交点A、B的距离为8，
∴|x₁-x₂|=8，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}$=64，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{24}{a}=64$①，
∵△ABC的面积为32，
∴$\frac{1}{2}$×8×|$\frac{24a-{b}^{2}}{4a}$|=32，
∴|$\frac{24a-{b}^{2}}{4a}$|=8②，
①②联立可得$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-24a=64{a}^{2}}\\{|\frac{24a-{b}^{2}}{4a}|=8}\end{array}\right.$，
解得a=±$\frac{1}{2}$，
当a=$\frac{1}{2}$时，4b²-48=64，
解得b=±2$\sqrt{7}$，
此时二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{7}$x+6或y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2$\sqrt{7}$x+6，
当a=-$\frac{1}{2}$时，4b²+48=64，
解得b=±2，
此时二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6或y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+6，
综上二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{7}$x+6或y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2$\sqrt{7}$x+6或y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6或y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+6．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是根据题干条件列出a和b的方程组，此题答案不止一个，很容易漏解，此题有一定的难度．