Question

如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=6cm．

（1）AE的长为　 　cm；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

（3）求点D′到BC的距离．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=45°，∠B=90°，

∴AB=BC=6cm，

∴AC=12cm，

∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，

∴CD=AC÷cos30°=12÷=12×=8（cm），

∵点E为CD边上的中点，

∴AE=DC=4cm．

故答案为：4；

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，

∴∠ADC=60°，

∵E为CD边上的中点，

∴DE=AE，

∴△ADE为等边三角形，

∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，

∴△AD′E为等边三角形，

∠AED′=60°，

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，

∴∠EFA=90°，

即AC所在的直线垂直平分线段ED′，

∴点E，D′关于直线AC对称，

连接DD′交AC于点P，

∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′，

∵△ADE是等边三角形，AD=AE=4，

∴DD′=2×AD×=2×6=12，

即DP+EP最小值为12cm；

（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，

∵AC垂直平分线ED′，

∴AE=AD′，CE=CD′，

∵AE=EC，∴AD′=CD′=4，

在△ABD′和△CBD′中，

，

∴△ABD′≌△CBD′（SSS），

∴∠D′BG=45°，

∴D′G=GB，

设D′G长为xcm，则CG长为（6﹣x）cm，

在Rt△GD′C中

x²+（6﹣x）²=（4）²，

解得：x₁=3﹣，x₂=3+（不合题意舍去），

∴点D′到BC边的距离为（3﹣）cm．