Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．

（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．

（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 抛物线的解析式为y═;对称轴方程为x=3;(2)相似，理由见解析；（3）当t=4时，△DBC的最大面积为16，此时D点坐标为（4，6）

【解析】

（1）直接把点B（8，0）代入抛物线y=﹣+bx+4，求出b的值即可得出抛物线的解析式，进而可得出其对称轴方程；

（2）求出A点坐标，再由锐角三角函数的定义得出tan∠ACO=tan∠CBO，故∠ACO=∠CBO，由此可得出结论；

（3）求出BC解析式，将S△BCD转化为DHOB，设D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），面积可转化为S△BCD=﹣（t﹣4）2+16，△DBC的最大面积为16，此时D点坐标为（4，6）．

（1）∵B点的坐标为B（8，0），∴﹣16+8b+4=0，解得：b=，∴抛物线的解析式为y═﹣+x+4，对称轴方程为x=﹣=3；

（2）由（1）知，抛物线的对称轴方程为x=3，B（8，0），∴A（﹣2，0），C（0，4），∴OA=2，OC=4，OB=8，∴tan∠ACO=tan∠CBO=，∴∠ACO=∠CBO．

∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB．

（3）设BC解析式为y=kx+b，把（8，0），（0，4）分别代入解析式得：，解得：，∴y=﹣x+4．

作DH⊥x轴，交BC于H．设D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），S△BCD=DHOB=×（﹣t2+t+4+t﹣4）×8=﹣t2+8t=﹣（t2﹣8t+42﹣16）=﹣（t﹣4）2+16

当t=4时，△DBC的最大面积为16，此时D点坐标为（4，6）．